RELASI REKURSI
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Selesaikan
relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98
a)
an= 7n (2) , n > 1
b)
an= 7n (1) , n > 0
c)
an= 7n , n > 2
d)
an = 7n
(2) , n > 0
Pembahasan :
Untuk
n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2
= 98 maka 98 = 49 a0
Sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut
dideretkan terus akan diperoleh:
a3 =
7 a2 = 7 (7 pangkat 2 a0) = 7 pangkat 3 a0 .......... dan seterusnya
Sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas
adalah an = 7n (2) , n > 0
2. Diketahui suatu barisan c0,
c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :
Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1).
Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.
Ditanya : Hitunglah c5 !
a) C5 = 90
b) C5 = 92
c) C5 = 84
d)
C5 = 94
Pembahasan :
Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5
tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung
c2, c3 dan c4.
·
c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
·
c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
·
c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
·
c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94
3. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn +
bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas
b0 = 0 , b1 = 1
a) bn(h) = (-3)n + .2n
b) bn(h) = 3n + .2n
c) bn(h) = (-2)n + .3n
d)
bn(h) = (-3)n + .2n
Pembahasan :
Relasi rekurensi tersebut adalah relasi
rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n
4. Tentukan solusi dari relasi
rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !
a) an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n
b) an (n) = (A 1 n + A 2) (-4)
n
c) an (n) = (A 1 n + A2) (-5) n
d) an (n) = (A 1 n + A 2) (-6)
n
Pembahasan :
Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 +
9an-2 = 0.
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .
5. Berapa banyakkah bilangan Fibonacci antara 10 sampai
dengan 100..?
a) 90
b) 9
c) 5
d) 10
Pembahasan :
Dari tabel di atas, terlihat bahwa bilangan Fibonacci
yang terletak antara 10 hingga 100 adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku
ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku ke-9 (55), dan suku ke-10 (89).
Dengan demikian, jawabannya adalah 5.
6. Dengan
mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut
mulai dari f1 sampai dengan fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu >
150..?
a)
9
b)
10
c)
11
d)
15
Pembahasan :
Dari tabel di atas juga, dapat kita ketahui bahwa nilai n
terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn> 150
adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh
dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan
Fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga, jawaban yang benar
adalah 10.
7. Mana diantara berikut yang
merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n .
a) an(h) = (A1 nm-1 +
A2 nm-2) a1n ,
an(h) = (A1 n + A2 )
(-2)n
b) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
c) an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n
d) an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
Pembahasan :
Relasi
rekurensi homogen
: an +
4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan
karakteristiknya adalah a2 + 4 a +
4 = 0
(a+
2) (a + 2) = 0
Hingga
diperoleh akar-akar
karakteristik a1 = a2 =
-2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi
homogennya berbentuk
an(h) =
(A1nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
8. Tentukan
solusi umum dari relasi rekursi dan 0=9
a) 5 +
(n) (n+1) (4n+2)
b) 9 + (n) (n+2) (2n+1)
c) 2 + (n+2) (n) (n+2n)
d) 9 + (n)
(n+1) (2n+1)
Pembahasan :
f(n) = sehingga solusi umumnya :
n = 0 + (i)
= 0 + 2
= 0 + 2
= 9 + (n) (n+1) (2n+1)
9. Diketahui relasi rekurensi
Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!
a) 2n
b) 4n
c) n
d) 2
Pembahasan :
Dengan interasi diperoleh :
Sn =
2Sn-1
= 2
(2Sn-2) = 2Pangkat2
Sn-2
=
2pangkat3Sn-3
= ………
=
2nS0
= 2n
10. Tentukan solusi homogen dari
relasi rekurensi 4 an - 20 an-1 + 17 an-2 – 4 an-3 = 0.
a) an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n + A1 . 4n.
b) an(h) = (A2 n - A1 ) (½)n + A3 . 4n.
c) an(h) = (A1 n - A2 ) (½)n + A3 . 3n.
d) an(h) =
(A1 n + A2 ) (½)n + A3 . 4n.
Pembahasan :
Persamaan
karakteristiknya : 4 a3 -
20 a2 + 17 a - 4 = 0
Akar-akar
karakteristiknya : ½ ,
½ dan 4
Solusi
homogennya berbentuk : an(h) =
(A1 n + A2 ) (½)n + A3 .
4n.
